Question

11．已知直线f（x）=k₀x+b与曲线g（x）=$\frac{{k}^{2}}{x}$交于点M（m，-1），N（n，2），则不等式f^-1（x）≥g^-1（x）的解集为[-1，0）∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 根据已知求出两个反函数的解析式，并画出草图，数形结合，可得答案．

解答 解：∵直线f（x）=k₀x+b与曲线g（x）=$\frac{{k}^{2}}{x}$交于点M（m，-1），N（n，2），
故m=-k²，n=$\frac{{k}^{2}}{2}$，
故函数f（x）=k₀x+b为增函数，k₀＞0，
由y=k₀x+b得：x=$\frac{1}{{k}_{0}}$y-$\frac{b}{{k}_{0}}$，
故f^-1（x）=$\frac{1}{{k}_{0}}$x-$\frac{b}{{k}_{0}}$，
由y=$\frac{{k}^{2}}{x}$得：x=$\frac{{k}^{2}}{y}$，
故g^-1（x）=$\frac{{k}^{2}}{x}$，
两个反函数交于（-1，m），（2，n）点；
两个函数的草图如下图所示：

当x∈[-1，0）∪[2，+∞）时，f^-1（x）≥g^-1（x），
故答案为：[-1，0）∪[2，+∞）

点评 本题考查的知识点是反函数，函数的图象和性质，数形结合思想，难度中档．