Question

给出下列命题：①?x∈R，且x≠0，x+

1

x

≥2；②?x∈R，x²+1≤2x；③若x＞0，y＞0，则

x2+y2 2

≥

2xy

x+y

．其中所有真命题的序号是

②③

．

Answer 1

分析：①令x=-1，可得x+

1

x

＜0，从而进行判断；
②?x∈R，x²+1≤2x，对其进行移项，配方，再进行判断；
③根据均值不等式：

a2+b2 2

≥

a+b

2

≥

ab

≥

2

1 a + 1 b

（a，b＞0）进行判断；

解答：解：①令x=-1，可得x+

1

x

=-1-1=-2≤2，故①错误；
②?x∈R，x²+1≤2x，∴（x-1）²≤0，令x=1，可得0≤0，故②正确；
③∵x＞0，y＞0，由已知均值不等式：

a2+b2 2

≥

a+b

2

≥

ab

≥

2

1 a + 1 b

（a，b＞0），
∴

x2+y2 2

≥

2xy

x+y

=

2

1 x + 1 y

，故③正确
故答案为：②③；

点评：此题主要考查均值不等式的性质，注意x+

1

x

≥2要求x，y＞0，不能忘记条件，这是同学们容易出错的地方，此题是一道基础题．