Question

已知函数f（x）=ln（x+1），h(x)=

x

x+1

，设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）当x＞0时，比较f（x）和h（x）的大小；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令cn=(-1)n+1log

an

n+1

2，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N*且n≥2时，T_2n＜

2

2

．

Answer 1

分析：（1）构造函数g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

(x＞0)，求导，求函数的单调性和最值；（2）根据S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹及an=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

，可求得数列{a_n}的通项公式；
（3）把（2）求得的结果代入cn=(-1)n+1log

an

n+1

2，求得cn=(-1)n+1•

1

n

，∴T2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

进行变形，利用（1）的结论即可证明不等式．

解答：解（1）令g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

(x＞0)，则g′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

＞0，
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时，ln(x+1)＞

x

x+1

即当x＞0时，f（x）＞h（x），
（2）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，所以数列{

an

2n

}是公差为1的等差数列．
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以

an

2n

=2+(n-1)=n+1，故a_n=（n+1）•2ⁿ．
（3）因为cn=(-1)n+1•

1

n

，
则当n≥2时，T2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

)-2(

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

．
下面证

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

＜

2

2

由（1）知当x＞0时，ln(x+1)＞

x

x+1

令x=

1

n

，ln

n+1

n

＞

1

n+1

?ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，ln(n+2)-ln(n+1)＞

1

n+2

，
，ln(n+3)-ln(n+2)＞

1

n+3

，ln(2n)-ln(2n-1)＞

1

2n

以上n个式相加，即有ln(2n)-lnn＞

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

∴

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜ln(2n)-lnn=ln2＜

2

2

．

点评：此题是个难题．考查根据数列的递推公式利用构造法求数列的通项公式，及数列的求和问题，题目综合性强，特别是问题（3）的设置，数列与不等式恒成立问题结合起来，能有效考查学生的逻辑思维能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，体现了转化的思想和分类讨论的思想．