Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，侧棱长为

2

2

a，D是棱A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB₁-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接A₁B与AB₁交于E，则E为A₁B的中点，D为A₁C₁的中点，根据中位线可知BC₁∥DE，又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，根据线面平行的判定定理可知BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）过D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB₁，连接EF，DE，在正△A₁B₁C₁中，求出B₁D，在直角三角形AA₁D中，求出AD，即可证得AD=B₁D，则DE⊥AB₁，由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB₁．则∠DEF为二面角A₁-AB₁-D的平面角，根据△B₁FE∽△B₁AA₁，即可求出∠DEF．

解答：解：（Ⅰ）连接A₁B与AB₁交于E，则E为A₁B的中点，
∵D为A₁C₁的中点，
∴DE为△A₁BC₁的中位线，
∴BC₁∥DE．
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D
（Ⅱ）过D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB₁，连接EF，DE，在正△A₁B₁C₁中，
∴B1D=

3

2

A1B1=

3

2

a，
在直角三角形AA₁D中，
∵AD=

A A 2 1 +A1D2

=

3

2

a，
∴AD=B₁D．
∴DE⊥AB₁，
由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB₁．则∠DEF为二面角A₁-AB₁-D的平面角，又得DF=

3

4

a，
∵△B₁FE∽△B₁AA₁，
∴

EF

AA1

=

B1E

A1B1

?EF=

3

4

a
∴∠DEF=

π

4

．
故所求二面角A₁-AB₁-D的大小为

π

4

．

点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定等有关知识，二面角的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．