Question

椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：（λ≥2）．
（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
（3）若λ变化，且λ=k²+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．

Answer 1

解：设椭圆方程为：（a＞b＞0），
由及a²=b²+c²得a²=3b²，
故椭圆方程为x²+3y²=3b²①
（1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
并且（λ≥2）
∴（x₁+1，y₁）=λ（-1-x₂，-y₂），
即②
把y=k（x+1）代入椭圆方程，
得：（3k²+1）x²+6k²x+3k²-3b²=0，且△=k²（3b²-1）+b²＞0，
∴③④
∴
联立②、③得：
∴
（2）
当且仅当即时，S_△OAB取得最大值．
此时x₁+x₂=-1，
又∵x₁+1=-λ（x₂+1），
∴，代入④得：
故此时椭圆的方程为
（3）由②．③联立得：，，将x₁．x₂代入④得：，
由k²=λ-1
得：
易知：当λ≥2时，3b²是λ的减函数，
故当λ=2时，（3b²）_max=3．
故当λ=2，
k=±1时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x²+3y²=3．
分析：（1）先设出椭圆的方程，根据离心率求得a和c的关系式，进而根据a²=b²+c²得a和b的关系，根据直线L与椭圆相交，且，进而求得（x₁+1，y₁）=λ（-1-x₂，-y₂），联立方程组，把y=k（x+1）代入椭圆方程整理后表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用弦长公式表示出三角形OAB的面积，联立方程求得三角形OAB的面积．
（2）根据（1）中的三角形OAB的面积，利用基本不等式求得求得面积最小，推断出此时x₁+x₂=-1，进而求得b和λ的关系，代入椭圆方程求得，椭圆的标准方程．
（3）把（1）中的方程②③联立求得x₁和x₂的表达式，然后代入方程④中，整理求得k和λ的关系式，利用基本不等式求得椭圆短半轴长取得最大值时，k的值，则椭圆的方程可得．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．