Question

设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x⁴-x³+ax+b≤（x²-1）²，则ab等于______．

Answer 1

验证发现，
当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，
当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得-1≤a≤0
令f（x）=x⁴-x³+ax+b，即f（1）=a+b=0
又f′（x）=4x³-3x²+a，f′′（x）=12x²-6x，
令f′′（x）＞0，可得x＞

1

2

，则f′（x）=4x³-3x²+a在[0，

1

2

]上减，在[

1

2

，+∞）上增
又-1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0
又x≥0时恒有0≤x⁴-x³+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x⁴-x³+ax+b的极小值点，也是最小值点
故有f′（1）=1+a=0，由此得a=-1，b=1
故ab=-1
故答案为-1