Question

对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[-1.5]=-2，[2.5]=2，定义函数{x}=x-[x]，则给出下列四个命题：①函数{x}的定义域是R，值域为[0，1]；②方程{x}=

1

2

有无数个解；③函数{x}是周期函数；④函数{x}是增函数．其中正确的序号是（　　）

• A、①③
• B、②④
• C、①④
• D、②③

Answer 1

分析：要使解析式有意义，得出函数{x}的定义域为R，由周期函数的定义证明此函数为周期函数，使求出一个周期的上的值域，即为整个函数的值域，周期函数不是单调函数．

解答：解：∵函数{x}的定义域为R，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴③是正确的，
当0≤x＜1时，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函数{x}的值域为[0，1），∴①错误，
当x=

1

2

时，{x}=

1

2

，又∵函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴x=

1

2

+k时（k∈Z），{x}=

1

2

，∴②是正确的，
∵函数{x}是周期为1的函数，∴函数{x}不是单调函数，∴④错误
故选D．

点评：此题是自定义一个函数，求函数的性质，一般研究函数从图象入手，要找出准确的切入点，x∈R时，[x]∈Z，x-[x]∈[0，1）．