Question

19．已知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），P是椭圆上非x轴上的一点，△PF₁F₂中，若F₂（右焦点）关于∠F₁PF₂的外角平分线的对称点Q，则点Q的轨迹是（　　）

• A． 椭圆
• B． 圆
• C． 抛物线
• D． 线段

Answer 1

分析 延长F₁P，与F₂Q的延长线交于M点，连接QO，根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OQ的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点Q的轨迹方程为x²+y²=a²，从而解得．

解答 解：由题意，延长F₁P，与F₂Q的延长线交于M点，连接QO，
∵PQ是∠F₂PM的平分线，且PQ⊥MF₂；
∴△F₂MP中，|PF₂|=|PM|且Q为MF₂的中点，
由三角形中位线定理，得|OQ|=$\frac{1}{2}$|MF₁|=$\frac{1}{2}$（|MP|+|PF₁|）
∵由椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a，（2a是椭圆的长轴），可得|MP|+|PF₁|=2a，
∴|OQ|=$\frac{1}{2}$（|MP|+|PF₁|）=a，可得动点Q的轨迹方程为x²+y²=a²
∴点Q的轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆．
故选：B．

点评 本题在椭圆中求动点Q的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．