Question

13．函数$f（x）=\sqrt{|{x+1}|+|{x+2}|-a}$．
（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；
（Ⅱ）设a，b∈（-1，1），证明$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}|$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=5，则|x+1|+|x+2|-5≥0，解绝对值不等式即可得到函数f（x）的定义域A；
（Ⅱ）要证明$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}|$，即证2|a+b|＜|4+ab|，进一步作差比较，则可得到要证明的结论．

解答 （Ⅰ）解：若a=5，则|x+1|+|x+2|-5≥0，
得A={x|x≤-4或x≥1}；
（Ⅱ）证明：∵$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}|?2|a+b|＜|4+ab|$，
而4（a+b）²-（4+ab）²=4（a²+2ab+b²）-（16+8ab+a²b²）
=4a²+4b²-a²b²-16=a²（4-b²）+4（b²-4）=（b²-4）（4-a²）．
∵a，b∈（-1，1），∴（b²-4）（4-a²）＜0．
∴4（a+b）²＜（4+ab）²．
∴$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}|$．

点评 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的证明，是基础题．