Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c，且f(1)=-

a

2

，3a＞2c＞2b．
（1）求证：a＞0且-3＜

b

a

＜-

3

4

；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，求|x₁-x₂|的范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（1）=a+b+c=-

a

2

，可得c=-

3

2

a-b，结合3a＞2c＞2b，可得结论；
（2）利用零点存在定理，证明f（0）×f（2）＜0即可；
（3）|x₁-x₂|²=（x₁ +x₂）²-4x₁x₂=

b2-4ac

|a|

=（

c

a

-

1

2

）²+2≥2，由此可得结论．

解答：（1）证明：∵f（1）=a+b+c=-

a

2

，∴c=-

3

2

a-b
∴3a＞2c=-3a-2b，∴3a＞-b，
∵2c＞2b，∴-3a＞4b；
若a＞0，则-3＜

b

a

＜-

3

4

；若a=0，则0＞-b，0＞b，不成立；若a＜0，则-

3

4

＜

b

a

＜-3，不成立．
（2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，f（1）=-

a

2

，△=b²-4ac=b²+4ab+6a²＞0
①当c＞0时，f（0）＞0，f（1）＜0，所以f（x）在（0，1）上至少有一个零点
②当c=0时，f（0）=0，f（2）=4a+2b=a＞0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点
③当c＜0时，f（0）＜0，f（1）＜0，b=-

3

2

a-c，f（2）=4a-3a-2c+c=a-c＞0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点
综上：所以f（x）在（0，2）上至少有一个零点．
（3）c=-

3

2

a-b，（|x₁-x₂|）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=b2-4ac
|a|=（

b

a

+2）²+2
因为-3＜b/a＜-

3

4

，所以（|x₁-x₂|）²∈[2，

57

16

）
所以|x₁-x₂|∈[

2

，

57

4

）

点评：本题考查函数的零点，考查韦达定理的运用，考查不等式的证明，属于中档题．