Question

函数f（x）=3sin

π

2

x-log₂x-

1

2

的零点个数为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：将条件变为：3sin

π

2

x=lo

g

x 2

+

1

2

，设h（x）=3sin

π

2

x和g（x）=lo

g

x 2

+

1

2

，在同一坐标系内作出g（x）和h（x）的图象，讨论h（x）、g（x）的单调性与最值，得它们有且仅有3个交点，由此可得原函数零点的个数．

解答：解：由f(x)=3sin

π

2

x-lo

g

x 2

-

1

2

=0得，3sin

π

2

x=lo

g

x 2

+

1

2

，
设h（x）=3sin

π

2

x，g（x）=lo

g

x 2

+

1

2

，
则所求的函数的零点个数转化为：函数h（x）和g（x）图象的交点个数，
在同一坐标系内作出g（x）和h（x）的图象：
函数g（x）的图象是y=log₂x的图象向上平移

1

2

单位，所以图象为经过点（

2

2

，0），
而h（x）=3sin

π

2

x的周期为4，在原点的右侧它的第一个最大值点为x=1，对应图中A（1，3），第二个最大值点为x=5，对应图中B（5，3），
∵log₂5＜3，
∴曲线g（x）=log₂x经过点B的下方，在B的左右各有一个交点
当x≤8时，log₂x≤3，两个函数图象有3个交点；
而当x＞8时，h（x）=3sin

π

2

x≤3＜g（x）=log₂x-

1

2

，两图象不可能有交点
∴h（x）=3sin

π

2

x与g（x）=log₂x-

1

2

的图象有且仅有3个不同的交点，
得函数f(x)=3sin

π

2

x-lo

g

x 2

-

1

2

的零点有3个
故选B．

点评：本题给出含有三角函数和对数的函数，求函数的零点的个数转化为两个函数图象的交点个数问题，考查了基本初等函数的单调性、最值，数形结合思想，关键是正确作图．