Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

anan+2

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设bn=

1

an

，Sn表示数列{b_n}的前n项和．试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题中条件点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上，求出a_n与a_n+1的关系，便可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）将（1）中求得的{a_n}的通项公式代入其中便可求出数列{b_n}的通项公式，便可求出数列{b_n}的前n项和T_n的表达式；
（3）存在，先根据题意求出Sn的表达式，然后求出S₁+S₂+S₃+…+S_n-1与（S_n-1）的关系，便可求出存在g（n）使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立．

解答：解：（1）由点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，即a_n+1-a_n=1，且a₁=1，
数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）•1=n（n∈N^*）
（2）bn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
Tn=

1

2

((1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+2

))
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)；
（3）bn=

1

n

，可得Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，Sn-Sn-1=

1

n

(n≥2)
即nS_n-nS_n-1=1
∴nS_n-（n-1）S_n-1=S_n-1+1，
nS_n-（n-1）S_n-1=S_n-1+1，
（n-1）S_n-1-（n-2）S_n-2=S_n-2+1
…
2S₂-S₁=S₁+1
nS_n-S₁=S₁+S₂+S₃+…+S_n-1+n-1，
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=nS_n-n=n（S_n-1），n≥2，g（n）=n
故存在关于n的整式g（x）=n，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的综合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．