Question

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinAsinC-$\sqrt{3}$asinBcosC=0
（1）求角C的值；
（2）若a=8，c=7，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简csinA=$\sqrt{3}$acosC．求出tanC=$\sqrt{3}$，进而可求C．
（2）利用余弦定理可求b的值，根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵bsinAsinC-$\sqrt{3}$asinBcosC=0，
∴由正弦定理得  sinBsinCsinA=$\sqrt{3}$sinAsinBcosC，…3分
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴sinA＞0．sinB＞0，从而sinC=$\sqrt{3}$cosC，
又∵cosC≠0，
∴tanC=$\sqrt{3}$，
可得：C=$\frac{π}{3}$．…5分
（2）由（1）可得C=$\frac{π}{3}$，a=8，c=7，
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=64+b²-2×$8bcos\frac{π}{3}$=49，
∴b=3，或b=5，…8分
∴当b=3时，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=6$\sqrt{3}$；
当b=5时，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=10$\sqrt{3}$．…10分．

点评 本题主要考查三角形的有关知识，考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式、三角函数的最值的应用，是常考题型，属于中档题．