如图已知抛物线
的焦点坐标为
，过
的直线交抛物线
于
两点，直线
分别与直线
：
相交于
两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．
（1）
；（2）证明过程详见解析.
解析试题分析：本题主要考查抛物线、直线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.第一问，利用抛物线的标准方程，利用焦点坐标求出
，代入即可；第二问，讨论直线
垂直和不垂直
轴2种情况，当直线垂直于轴时，2个三角形相似，面积比为定值，当直线不垂直于轴时，设出直线的方程，设出
四个点坐标，利用直线与抛物线相交列出方程组，消参得到方程，利用两根之积得
为定值，而面积比值与
有关，所以也为定值.
试题解析：（1）由焦点坐标为
可知
所以
,所以抛物线的方程为 5分
（2）当直线垂直于轴时，
与
相似，
所以
, 7分
当直线与轴不垂直时，设直线AB方程为
,
设
，
，
，
，
解
整理得
， 9分
所以, 10分
,
综上
12分
考点：1.抛物线的标准方程；2.直线方程；3.根与系数关系；4.三角形面积公式.
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆的中心在原点，焦点在
轴上，离心率为
，长轴长为
，直线
交椭圆于不同的两点
．
（1）求椭圆的方程；
（2）求
的取值范围；
（3）若直线
不经过椭圆上的点
，求证：直线
的斜率互为相反数．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
：
（
）的右焦点
，右顶点
,右准线
且
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线
：
与椭圆有且只有一个交点
，且与右准线相交于点
，试探究在平面直角坐标系内是否存在点
，使得以
为直径的圆恒过定点？若存在，求出点
坐标；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在
轴上，且过点
.
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）与圆
相切的直线
交抛物线于不同的两点
若抛物线上一点
满足
，求
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图已知椭圆的中点在原点，焦点在x轴上，长轴是短轴的2倍且过点
，平行于
的直线
在y轴的截距为
，且交椭圆与
两点，
（1）求椭圆的方程；（2）求
的取值范围；（3）求证：直线
、
与x轴围成一个等腰三角形，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知抛物线
与双曲线
有公共焦点
，点
是曲线
在第一象限的交点，且
．
(Ⅰ)求双曲线
的方程；
(Ⅱ)以双曲线的另一焦点
为圆心的圆
与直线
相切，圆
：
．过点
作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线
和
，设被圆截得的弦长为
，被圆截得的弦长为
，问：
是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，且｜F1F2｜＝2，点P（1，
）在椭圆C上.
（I）求椭圆C的方程；
（II）如图，动直线
：
与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且
，
，四边形
面积S的求最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系
中，动点
到两点
，
的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线C，直线过点
且与曲线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在平面直角坐标系
中，
、
分别是椭圆
的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于
、
两点，其中在第一象限．过作
轴的垂线，垂足为
．连接
，并延长交椭圆于点
．设直线
的斜率为
．
（Ⅰ）当直线平分线段
时，求的值；
（Ⅱ）当
时，求点到直线
的距离；
（Ⅲ）对任意
，求证：
．
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