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已知过点A(0,1)、B(4,a)且与x轴相切的圆只有一个,求a的值及所对应的圆的方程.

分析:解析几何的学科特点是将几何问题转化为方程性质的研究,特别是二次方程性质的研究,本例可利用方程思想来求解.

解析:设所求圆的圆心为(m,n),

由所求圆与x轴相切,可设圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=n2.

由A(0,1)、B(4,0)在圆上,得方程组

消去n可得关于m的方程(1-a)m2-8m+(a2-a+16)=0.

方程③有唯一解,这有两种情况:

(1)方程③为一次方程,有a=1,从而m=2,代入①得n=,对应圆方程为(x-2)2+(y-)2=.

(2)方程③为二次方程,

则有Δ=a[(a-1)2+16]=0.

得a=0,从而m=4,代入①得n=,

对应圆方程为(x-4)2+(y-)2=;

综上可知,所求a的值为1或0.

a=1时,对应的圆方程为(x-2)2+(y-)2=;

a=0时,对应的圆方程为(x-4)2+(y-)2=.

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