Question

已知过点A(0，1)、B(4，a)且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及所对应的圆的方程.

Answer 1

分析：解析几何的学科特点是将几何问题转化为方程性质的研究，特别是二次方程性质的研究，本例可利用方程思想来求解.

解析：设所求圆的圆心为(m,n)，

由所求圆与x轴相切，可设圆的方程为(x-m)²+(y-n)²=n².

由A(0，1)、B(4，0)在圆上，得方程组

消去n可得关于m的方程(1-a)m²-8m+(a²-a+16)=0.

方程③有唯一解，这有两种情况：

(1)方程③为一次方程，有a=1，从而m=2,代入①得n=,对应圆方程为(x-2)²+(y-)²=.

(2)方程③为二次方程，

则有Δ=a［(a-1)²+16］=0.

得a=0,从而m=4,代入①得n=,

对应圆方程为(x-4)²+(y-)²=;

综上可知，所求a的值为1或0.

a=1时，对应的圆方程为(x-2)²+(y-)²=;

a=0时，对应的圆方程为(x-4)²+(y-)²=.