Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，过F₂线与圆x²+y²=b²相切于点A，并与椭圆C交与不同的两点P，Q，如图，PF₁⊥PQ，若A为线段PQ的靠近P的三等分点，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  3

  3

• C．

  5

  3

• D．

  7

  3

Answer 1

分析：连接OA，PF₁，则OA⊥PQ，PF₁⊥PQ，因为A为线段PQ的靠近P的三等分点，所以A为线段PA的中点，于是PF₁=2b．结合椭圆的定义有PF₂=2a-2b，由此能求出椭圆的离心率．

解答：解：连接OA，PF₁，
则OA⊥PQ，又PF₁⊥PQ，可得OA∥PF₁
因为A为线段PQ的靠近P的三等分点，所以A为线段PF₂的中点，
于是PF₁=2b．
结合椭圆的定义有PF₂=2a-2b，
在直角三角形PF₁F₂中，
利用勾股定理得（2a-2b）²+（2b）²=（2c）²，
将c²=a²-b²代入，
整理可得b=

2

3

a，
于是e=

c

a

=

a2-b2

a

=

a2- 4 9 a2

a

=

5

3

．
故选C．

点评：离心率问题是解析几何的重点内容，各省考查频率相当高，往往融椭圆、双曲线的定义与平面几何的性质与一体，能够较好的考查学生的思维层次，备受命题专家的青睐．此题结合圆、椭圆、切线等知识，含金量高．