Question

中国篮球职业联赛（CBA）的总决赛采用七局四胜制．当两支实力水平相当的球队进入总决赛时，根据以往经验，第一场比赛中组织者可获票房收入3a万元，以后每场比赛票房收入比上一场增加a万元，当两队决出胜负后，求：
（1）组织者至少可以获得多少票房收入？
（2）决出胜负所需比赛场次的均值．
（3）组织者获得票房收入不少于33a万元的概率．

Answer 1

（1）根据题意，采用七局四胜制，分出胜败至少要4局，
则此时组织者可以获得3a+（3a+a）+（3a+2a）+（3a+3a）=18a万元，
即组织者至少可以获得18a万元的票房收入；
（2）根据题意，两支球队的实力水平相当的球队，设两队为甲队、乙队，且甲队、乙队每局取胜的概率为

1

2

；
设决出胜负所需比赛场次的值为ξ，则ξ可取的值为4、5、6、7，
ξ=4，即4局分出胜负，包括甲连胜4局与乙连胜4局两种情况，
则P（ξ=4）=2×（

1

2

）⁴=

1

8

；
ξ=5，即5局分出胜负，包括甲取胜与乙取胜两种情况，
甲取胜的概率为C₄³×（

1

2

）⁴×

1

2

=

1

8

，同理乙取胜的概率为

1

8

，
则P（ξ=5）=2×

1

8

=

1

4

，
ξ=6，即6局分出胜负，包括甲取胜与乙取胜两种情况，
甲取胜的概率为C₅³×（

1

2

）⁵×

1

2

=

5

32

，同理乙取胜的概率为

5

32

，
则P（ξ=6）=2×

5

32

=

5

16

，
ξ=7，即7局分出胜负，包括甲取胜与乙取胜两种情况，
甲取胜的概率为C₆³×（

1

2

）⁶×

1

2

=

5

32

，同理乙取胜的概率为

5

32

，
则P（ξ=7）=2×

5

32

=

5

16

，
决出胜负所需比赛场次的均值为4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

；
故决出胜负所需比赛场次的均值为

93

16

．
（3）进行4场，5场，6场，7场比赛组织者可分别获得票房收入为
18a万元，25a万元，33a万元，42a万元，
故票房收入不少于33a万元的概率P=

5

16

+

5

16

=

5

8