【题目】如图,已知四棱锥的底面为直角梯形, , ,且, .
(1)求证:平面平面;
(2)设,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)取, 的中点, ,连接, , , ,可得, ,故得平面,所以,又,所以平面,从而可得平面平面.(2)由(1)知两两垂直,建立空间直角坐标系,利用平面的法向量求解即可。
试题解析:
(1)证明:如图,取, 的中点, ,连接, , , ,
则四边形为正方形,
∴,∴.
又,∴,
又
∴平面,
又平面
∴.
∵,
∴.
又,
∴平面.
又平面,
∴平面平面.
(2)解:由(1)知两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵, ,
∴.
令,则, , , ,
∴, , .
设平面的一个法向量为,
由,得,取,得.
又设平面的法向量为,
由得,取,得,
∴,
由图形得二面角为锐角,
∴二面角的余弦值为.
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【题目】已知圆与轴负半轴相交于点,与轴正半轴相交于点.
(1)若过点的直线被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)若在以为圆心半径为的圆上存在点,使得 (为坐标原点),求的取值范围;
(3)设是圆上的两个动点,点关于原点的对称点为,点关于轴的对称点为,如果直线与轴分别交于和,问是否为定值?若是求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位:百万元)如下面的折线图所示:
(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高?
(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势;
(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表),用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润.
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 |
利润y(单位:百万元) | 4 | 4 | 6 | 6 |
相关公式: , .
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【题目】某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 ,且各阶段通过与否相互独立.
(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率;
(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为,求的分布列、数学期望.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面,底面为梯形,,,且.
(Ⅰ)若点为上一点且,证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使得?若存在,求出的长;若不存在,说明理由.
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【题目】下列五个命题:
(1)函数内单调递增。
(2)函数的最小正周期为2。
(3)函数的图像关于点对称。
(4)函数的图像关于直线成轴对称。
(5)把函数 的图象向右平移得到函数的图象。
其中真命题的序号是________________。
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【题目】如图,在四棱柱中, 底面, , ,且, .点在棱上,平面与棱相交于点.
(Ⅰ)求证: 平面.
(Ⅱ)求证: 平面.
(Ⅲ)求三棱锥的体积的取值范围.
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【题目】在极坐标系中,曲线的方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为,( 为参数)
(1)求曲线的参数方程和曲线的普通方程;
(2)求曲线上的点到曲线的距离的取值范围.
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