Question

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且在[0，2]上f（x）=

x(1-x)，0≤x≤1 sinπx，1＜x≤2

，则f(

5

2

)=

 

；若方程f（x）=k在[0，4）上恰有4个根，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据分段函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），
∴f(

5

2

)=f（

5

2

-4）=f（-

3

2

）=-f（

3

2

）=-sin

3π

2

=1；
若2≤x＜3，则-2≤x-4＜-1，1＜4-x≤2，
此时f（x）=f（x-4）=-f（4-x）=-sinπ（4-x）=sinπ（x-4），
若3≤x≤4，则-1≤x-4≤0，0≤4-x≤1，
此时f（x）=f（x-4）=-f（4-x）=-（4-x）（x-3）=（x-4）（x-3），
作出函数f（x）的图象如图：
当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x）=-（x-

1

2

） 2+

1

4

，此时函数的最大值为

1

4

，
根据对称性可知当3≤x≤4时，函数的最小值为-

1

4

，
若方程f（x）=k在[0，4）上恰有4个根，
则k满足-

1

4

＜k＜

1

4

，
故答案为：1；(-

1

4

，

1

4

)

点评：本题主要考查分段函数的应用，根据函数奇偶性和周期性求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．