Question

【题目】在自然数列1，2，3，，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为Pn（k）．
（1）求P3（1）
（2）求 P4（k）；
（3）证明 kPn（k）=n Pn﹣1（k），并求出 kPn（k）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，

∴P3（1）=3；

（2）解： = ；
（3）证明：把数列1，2，，n中任取其中k个元素位置不动，则有 种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则有 ，

故 ，

又∵ ，

∴ ．

令 ，则an=nan﹣1，且a1=1．

于是a2a3a4an﹣1an=2a1×3a2×4a3××nan﹣1，

左右同除以a2a3a4an﹣1，得an=2×3×4××n=n!

∴ ．

【解析】（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；（2）类比（1）即可得出；（3）：把数列1，2，，n中任取其中k个元素位置不动，则有 种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则 ，可得 ，利用 ，即可得出．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．