Question

已知抛物线C:y²=2x,A、B两点在抛物线C上,O为坐标原点.

(1)B′为B关于x轴的对称点(B′与A不重合),当·=-1时,判断直线AB′是否恒过定点.

(2)当直线AB恒过定点(m,0)(m＞0,且m≠2)时,求∠AOB的取值范围.

Answer 1

解:(1)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则·=x₁x₂+y₁y₂=-1.

∵y₁²=2x₁,y₂²=2x₂,∴(y₁y₂)²=4x₁x₂.

∴+y₁y₂=-1.∴y₁y₂=-2.

∵B′(x₂,-y₂),k_AB′===,

AB′:y-y₁=(x-x₁),即(y₁-y₂)y-y₁²+y₁y₂=2x-2x₁,

由y₁²=2x₁得(y₁-y₂)y=2x-y₁y₂=2(x+1),

∴直线AB′恒过定点(-1,0).

(2)k_OA==,k_OB=,不妨设y₁＞0,y₂＜0,

则∠AOB为OB到OA的角,

∴tan∠AOB===.

设直线AB方程为x=ay+m,代入y²=2x得y²-2ay-2m=0,则y₁y₂=-2m.

∴tan∠AOB= (y₁+).

当m＞2时,y₁+≥2,∴tan∠AOB≥.∴arctan≤∠AOB＜.10分

当0＜m＜2时,tan∠AOB≤,

∴＜∠AOB≤π+arctan.