Question

已知矩阵A=

3 3 c d

，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=

1 1

，属于特征值1的一个特征向量为α2=

3 -2

．
（1）求矩阵A；
（2）求出直线x+y-1=0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程．

Answer 1

考点：矩阵特征值的定义,几种特殊的矩阵变换

专题：矩阵和变换

分析：本题（1）可以利用矩阵的特征值和特征向量的意义列出相应的方程，解方程得到本题结论；（2）根据矩阵变换下相关点的坐标关系，利用代入法求出曲线的方程，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵矩阵A=

3 3 c d

，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=

1 1

，属于特征值1的一个特征向量为α2=

3 -2

，
∴

3 3 c d

•

1 1

=6

1 1

，

3 3 c d

•

3 -2

=

3 -2

，
∴

c+d=6 3c-2d=-2

，
∴

c=2 d=4

．
∴A=

3 3 2 4

．
（2）设直线x+y-1=0上一点P（x，y）在矩阵A的作用下得到曲线xy=1上一点P′（x′，y′），
∴

x′ y′

=

3 3 2 4

x y

，
∴

x′=3x+3y y′=2x+4y

，即

x= 1 2 y′- 1 3 x′ y= 4 3 x′-y′

，
将上式代入x+y-1=0得：x′-

1

2

y′-1=0，
∴2x-y-2=0．
∴直线x+y-1=0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程为2x-y-2=0．

点评：本题考查了矩阵的特征值和特征向量以及矩阵变换下曲线的方程，本题难度不大，属于基础题．