Question

已知函数f（x）=

x+2

x-6

，
（1）当f（x）=2时，求x的值；
（2）证明函数f（x）在[2，4]上是减函数，并求函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=

x+2

x-6

=2，解方程可求出x的值；
（2）任取2≤x₁＜x₂≤4，判断f（x₁）与f（x₂）的大小，进而利用函数单调性的定义，可判断出函数的单调性，进而得到函数的最值．

解答：解：（1）若令f（x）=

x+2

x-6

=2
即x+2=2（x-6）
解得x=14
（2）任取2≤x₁＜x₂≤4，
则x₂-x₁＞0，x₁-6＜0，x₂-6＜0，
f（x₁）-f（x₂）=

x1+2

x1-6

-

x2+2

x2-6

=

8(x2-x1)

(x1-6)(x2-6)

＞0
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
故函数f（x）在[2，4]上是减函数，
∴当x=2时，函数f（x）取最大值-1，
当x=4时，函数f（x）取最小值-3．

点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合应用，函数的值，函数的单调性，熟练掌握函数单调性的定义，证明及应用是解答的关键．