Question

（2013•广州一模）已知函数f(x)=Asin(ωx+

π

4

)（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值为2，最小正周期为8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求△POQ的面积．

Answer 1

分析：（1）由函数的最大值求出A，由周期求得ω，从而求得函数的解析式．
（2）解法1：先求出P、Q两点的坐标，利用两个向量的夹角公式求得cos∠POQ，可得sin∠POQ的值，根据△POQ的面积为S=

1

2

|OP||OQ|sin∠POQ，运算求得结果．
解法2：先求出P、Q两点的坐标，利用点到直线的距离公式求得点Q到直线OP的距离d以及OP的长度，再根据△POQ的面积为 S=

1

2

|OP|•d运算求得结果．

解答：（1）解：∵f（x）的最大值为2，且A＞0，∴A=2．…（1分）
∵f（x）的最小正周期为8，∴T=

2π

ω

=8，得ω=

π

4

．…（2分）
∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．…（3分）
（2）解法1：∵f(2)=2sin(

π

2

+

π

4

)=2cos

π

4

=

2

，…（4分）
∴f(4)=2sin(π+

π

4

)=-2sin

π

4

=-

2

，…（5分）
∴P(2，

2

)，Q(4，-

2

)．
∴|OP|=

6

，|PQ|=2

3

，|OQ|=3

2

．…（8分）
∴cos∠POQ=

|OP|2+|OQ|2-|PQ|2

2|OP||OQ|

=

( 6 )2+(3 2 )2-(2 3 )2

2 6 ×3 2

=

3

3

．…（10分）
∴sin∠POQ=

1-cos2∠POQ

=

6

3

．…（11分）
∴△POQ的面积为S=

1

2

|OP||OQ|sin∠POQ=

1

2

×

6

×3

2

×

6

3

=3

2

．…（12分）
解法2：∵f(2)=2sin(

π

2

+

π

4

)=2cos

π

4

=

2

，…（4分）
∴f(4)=2sin(π+

π

4

)=-2sin

π

4

=-

2

，…（5分）
∴P(2，

2

)，Q(4，-

2

)．
∴直线OP的方程为y=

2

2

x，即x-

2

y=0．…（7分）
∴点Q到直线OP的距离为d=

|4+2|

3

=2

3

．…（9分）
∵|OP|=

6

，…（11分）
∴△POQ的面积为S=

1

2

|OP|•d=

1

2

×

6

×2

3

=3

2

．…（12分）

点评：本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．