Question

7．已知函数$f（x）={2016^x}+{log_{2016}}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）-{2016^{-x}}+2$，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（-$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 可先设g（x）=2016^x+log₂₀₁₆（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2016^-x，根据要求的不等式，可以想着判断g（x）的奇偶性及其单调性：容易求出g（-x）=-g（x），通过求g′（x），并判断其符号可判断其单调性，从而原不等式可变成，g（3x+1）＞g（-x），而根据g（x）的单调性即可得到关于x的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解．

解答 解：设g（x）=2016^x+log₂₀₁₆（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2016^-x，
g（-x）=2016^-x+log₂₀₁₆（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2016^x=-g（x）；
g′（x）=2016^xln2016+$\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}-x}{（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）\sqrt{{x}^{2}+1}ln2016}$+2016^-xln2016＞0；
∴g（x）在R上单调递增；
∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；
∴g（3x+1）＞g（-x）；
∴3x+1＞-x；
解得x＞-$\frac{1}{4}$；
∴原不等式的解集为（-$\frac{1}{4}$，+∞），
故答案为：$（{-\frac{1}{4}，+∞}）$．

点评 查对数的运算，平方差公式，奇函数的判断方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，函数单调性定义的运用，并注意正确求导．