Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）要使f（x）≥m恒成立，只需m≤f（x）min ．
由绝对值不等式的性质，有|2x﹣1|+|2x+5|≥|（2x﹣1）+（2x+5）|=6，
即f（x）min=6，所以m≤6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=6，所以原不等式化为|x﹣3|﹣2x≤4，即|x﹣3|≤4+2x，
得﹣4﹣2x≤x﹣3≤4+2x，转化为 ，
化简，得 ，所以原不等式的解集为
【解析】对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min ， 只需求得f（x）的最小值即可．对第（2）问，先将m的值代入原不等式中，再变形为|x﹣3|≤4+2x，利用“|g（x）|≤h（x）﹣h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．