Question

6．已知{a_n}为等差数列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12
（1）求{a_n}通项公式；
（2）记{a_n}的前n项和为S_n，若a₁，a_k+1，S_k+3成等比数列，求正整数k的值．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差等于d，则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+2d=8}\\{2{a}_{1}+4d=12}\end{array}\right.$，解得 a₁=2，d=2，从而得到{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可得 {a_n}的前n项和为S_n =$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n（n+1），再由a_k+1²=a₁S_k+3 ，求得正整数k的值．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差等于d，
则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+2d=8}\\{2{a}_{1}+4d=12}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=2，
∴{a_n}的通项公式a_n =2+2（n-1）=2n；
（2）由（1）可得 {a_n}的前n项和为S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n（n+1），
∵a₁，a_k+1，S_k+3成等比数列，∴a_k+1²=a₁S_k+3，
∴4（k+1）² =2（k+3）（k+4），
解得k=5或k=-2（舍去），
故k=5．

点评 本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题．