分析 (1)可看出f(x)的定义域为R,而f(x)又是奇函数,从而有f(0)=0,这样可求出k=1;
(2)f(x)=ax-a-x,根据单调性的定义,设任意的x1,x2∈R,且x1<x2,然后作差,通分,提取公因式,便可说明f(x1)<f(x2),这便得出f(x)在R上单调递增,从而根据f(x)为奇函数和增函数便可由原不等式得到x2<1-2x,解该不等式便可得出原不等式的解集.
解答 解:(1)函数f(x)的定义域为R,f(x)是奇函数;
∴f(0)=k-1=0;
∴k=1;
(2)由(1),f(x)=ax-a-x,设x1,x2∈R,且x1<x2,则:
$f({x_1})-f({x_2})=({a^{x_1}}-{a^{-{x_1}}})-({a^{x_2}}-{a^{-{x_2}}})=({a^{x_1}}-{a^{x_2}})({1+\frac{1}{{{a^{{x_1}+{x_2}}}}}})$;
∵a>1,x1<x2;
${a^{x_1}}-{a^{x_2}}<0$,又$1+\frac{1}{{{a^{{x_1}+{x_2}}}}}>0$;
∴f(x1)-f(x2)<0;
即f(x1)<f(x2);
∴函数f(x)在R上是单调递增函数;
由f(x2)+f(2x-1)<0,得f(x2)<-f(2x-1);
即f(x2)<f(1-2x);
f(x)在R上单调递增;
∴x2<1-2x,即x2+2x-1<0;
解得$-1-\sqrt{2}<x<-1+\sqrt{2}$;
∴原不等式的解为$(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})$.
点评 考查奇函数的定义,奇函数在原点有定义时,原点处的函数值为0,函数单调性的定义,以及根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程,根据函数单调性解不等式的方法.
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A. | -4 | B. | -2 | C. | 0 | D. | 2 |
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