Question

【题目】已知焦点在x轴的椭圆的离心率与双曲线3x2-y2=3的离心率互为倒数，且过点，求：（1）求椭圆方程；

（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M，N，点，有|MP|=|NP|，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由双曲线的标准方程，求得离心率，代入即可求得椭圆的离心率为．设椭圆方程，将椭圆的标准方程，即可求得的，即可求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式，即可求得中点的坐标为，求得其垂直平分线方程，在上，代入求得的值，代入即可求得的取值范围．

（1）双曲线3x2-y2=3的标准方程：，a=1，b=，c=2，

椭圆的离心率为e===2． 由题意可得，椭圆的离心率e=，

设椭圆方程为（a＞b＞0）， 由e==，则a=2c，

∴b2=a2-c2=3c2， ∴椭圆方程为．

又点（1，）在椭圆上， ∴，解得：c2=1，

∴椭圆的方程为：；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

∴，消去y并整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点，

△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，即m2＜4k2+3，

由x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，

∴MN中点P的坐标为（-，）， 即为|MP|=|NP|，

∴P在MN的垂直平分线上，

设MN的垂直平分线l′方程：y=-（x-），

∵P在l′上，

∴=-（--），得4k2+5km+3=0，解得：m=-，

将上式代入①式得＜4k2+3，即k2＞，

解得：k＞或k＜-，

∴k的取值范围为（-∞，-）∪（+∞）．