Question

20．定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数y=f（x），当x＞0时，f（x）=|lgx|．
（1）求x＜0时f（x）的解析式；
（2）若存在四个互不相同的实数a，b，c，d使f（a）=f（b）=f（c）=f（d），求abcd的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质，进行求解即可．
（2）根据对数函数和对数方程的关系进行求解即可．

解答 解：（1）当x＜0时，-x＞0，f（-x）=|lg（-x）|，（3分）
因f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
即f（x）=f（-x）=|lg（-x）|，
所以，当x＜0时，f（x）=|lg（-x）|．（6分）
（2）不妨设a＜b＜c＜d，令f（a）=f（b）=f（c）=f（d）=m，（m＞0），则
当x＞0时，f（x）=|lgx|=m，
可得lgx=±m，即x=10^m或10^-m，（10分）
当x＜0时，f（x）=|lg（-x）|=m．可得lg（-x）=±m，
即x=-10^m或-10^-m，（14分）
因a＜b＜c＜d，
所以a=-10^m，b=-10^-m，c=10^-m，d=10^m，abcd=10^m.10^-m．（-10^m）．（-10^-m）=1．（16分）

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的性质，利用对称性进行转化是解决本题的关键．