Question

（本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，侧面底面ABC，，，且为AC中点。
（I）                   证明：平面ABC；
（II）                 求直线与平面所成角的正弦值；
（III）               在上是否存在一点E，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置。

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ），（Ⅲ）E为的中点

（Ⅰ）证明：因为，且O为AC的中点，

所以.                                                                                   ………………1分
又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，
所以平面.                                                                      ………………4分
（Ⅱ）如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
由题意可知，又
所以得:
则有：                                     ………………6分
设平面的一个法向量为，则有
，令，得
所以.                                          ………………7分
.                                     ………………9分
因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以.                                                                                            ………………10分
（Ⅲ）设                                            ………………11分
即，得
所以得         ………………12分
令平面，得 ，                                        ………………13分
即得
即存在这样的点E，E为的中点.                           ………………14分