Question

若函数y=a^x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=

1

x

的图象分别交于点A、B，若|AB|=2

2

，则a约等于

8.4

（精确到0.1）．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，如图，设A（x，a^x），函数y=a^x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=

1

x

的图象关于直线x-y=0 对称，得出点A到直线y=x的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式及A（x，a^x）在函数y=

1

x

的图象上得到a=（

2

+1） 

2

+1≈8.4即可．

解答：解：根据题意画出图形，如图，
设A（x，a^x），
∵函数y=a^x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=

1

x

的图象关于直线x-y=0 对称，
∴|AB|=2

2

，⇒点A到直线y=x的距离为

2

，
∴

|x-ax|

2

=

2

⇒a^x-x=2，①
又A（x，a^x）在函数y=

1

x

的图象上，⇒a^x=

1

x

，②
由①②得：

1

x

-x=2⇒x=

2

-1，
∴a

2

-1-（

2

-1）=2，⇒a=（

2

+1） 

2

+1≈8.4
故答案为：8.4．

点评：本小题主要考查反函数、函数的图象交点、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．