Question

已知过点A作两圆（x-2）²+y²=1和x²+（y-2）²=1的切线，其切线长相等，点B在x轴上，点C（2，1），则△ABC周长的最小值为

10

．

Answer 1

分析：根据两圆的半径相等，可得过点A作两圆的切线，满足切线长相等点A的轨迹为两圆的对称轴，因此求得点A为直线y=x上的动点．作点C关于直线y=x的对称点C₁和点C关于x轴的对称点C₂，连结C₁C₂分别交直线y=x和x轴于点A'、B'，可得：当点A与点A'重合且点B与点B'重合时，△ABC周长的最小．由此结合题中数据加以计算，即可得到△ABC周长的最小值．

解答：解：圆（x-2）²+y²=1和x²+（y-2）²=1的圆心分别为点（2，0）和点（0，2），半径都等于1
∵点（2，0）和点（0，2）关于直线y=x对称，两圆的半径相等
∴过点A作两圆的切线，当切线长相等时点A的轨迹为两圆的对称轴y=x
即点A为直线y=x上的动点
∵点A为直线y=x上的动点，点B是x轴上的动点
∴作点C（2，1）关于直线y=x的对称点C₁，
作点C（2，1）关于x轴的对称点C₂，
连结C₁C₂分别交直线y=x和x轴于点A'、B'，
当点A与点A'重合且点B与点B'重合时，△ABC周长的最小，
最小值等于线段C₁C₂的长．
求得C₁（1，2）、C₂（2，-1），
可得△ABC周长的最小值为|C₁C₂|=

(2-1)2+(-1-2)2

=

10

故答案为：

10

点评：本题给出动点A满足到两个定圆的切线长相等，求△ABC周长的最小值．着重考查了圆的方程、直线与圆的位置关系、两点之间的距离公式和利用对称求三角形周长问题等知识，属于中档题．