Question

10．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x₁，x₂，…x_n，总满足$\frac{1}{n}[{f（{x_1}）+f（{x_2}）+…+f（{x_n}）}]≤f（\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_n}}}{n}$），称函数f（x）为D上的凸函数；现已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则△ABC中，sinA+sinB+sinC最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数以及凸函数的定义可得$\frac{f（A）+f（B）+f（C）}{3}$≤f（$\frac{A+B+C}{3}$）=f（ $\frac{π}{3}$），即sinA+sinB+sinC≤3sin $\frac{π}{3}$，由此求得sinA+sinB+sinC的最大值．

解答 解：：∵f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，
且A、B、C∈（0，π），
∴$\frac{f（A）+f（B）+f（C）}{3}$≤f（$\frac{A+B+C}{3}$）=f（ $\frac{π}{3}$），即sinA+sinB+sinC≤3sin $\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
所以sinA+sinB+sinC的最大值为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的最值问题．关键是利用新定义得到所需内角的三角函数关系；考查了考生运用所给条件分析问题的能力和创造性解决问题的能力，属于中档题．