Question

如图，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且AD=PD=2EC，
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取PD中点Q，连接AQ，由三角形中位线定理证出EC∥DQ且EC=DQ，得四边形DCEQ为平行四边形，进而证出EQ∥AB且EQ=AB，从而得到BEQA为平行四边形，得AQ∥BE，结合线面平行的判定定理，得到BE∥平面PAD；
（2）延长PE交DC于点K，连接BK，则平面PBE与平面ABCD的交线为BK，根据正方形的性质和线面垂直的判定，得BK⊥平面PDB，由此可得∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的二面角的平面角，Rt△PBD中，利用余弦的定义得cos∠PBD=

6

3

，即可得到平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦为

6

3

．

解答：解：（1）取PD中点Q，连接AQ，
∵EC∥PD，EC=

1

2

PD，∴EC∥DQ且EC=DQ，
由此可得四边形DCEQ为平行四边形，
所以EQ∥DC，EQ=DC，
∵ABCD为正方形，∴EQ∥AB，EQ=AB，
∴四边形BEQA为平行四边形，得AQ∥BE，
又∵AQ?平面PAD，BE?平面PAD，
∴BE∥平面PAD；
（2）延长PE交DC于点K，连接BK，则平面PBE与平面ABCD的交线为BK，
∵PD⊥平面ABCD，BK?平面ABCD，∴PD⊥BK
 又∵EC∥PD，EC=

1

2

PD，∴E为PK中点，C为DK中点，
连接AC，得正方形ABCD中，AC⊥BD且AC=BD
∵平行四边形ACKB中，AC∥BK，AC=BK　
∴BD=BK，且BD⊥BK，
∵PD∩BD=D，∴BK⊥平面PDB，可得PB⊥BK，
由此可得∠PBD为所求二面角的平面角，
Rt△PBD中，PB=

BD2+PD2

=

2AD2+PD2

=

2AD2+AD2

=

3

AD
∴cos∠PBD=

BD

PB

=

2 AD

3 AD

=

6

3

，
所以平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦为

6

3

．

点评：本题给出正四棱锥，求证线面平行并求侧面与底面的二面角的余弦值，着重考查了空间垂直位置关系的证明和二面角的平面角的求法等知识，属于中档题．