Question

18．已知三棱锥A-BCD中，AB=CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．

Answer 1

分析 取AC的中点P，连结PM、PN，则∠MPN为AB与CD所成的角（或所成的角的补角），∠PMN是AB与MN所成的角（或所成角的补角），由此能求出直线AB与MN所成的角．

解答 解：如图，取AC的中点P，连结PM、PN，
则PM∥AB，且PM=$\frac{1}{2}AB$，PN∥CD，且PN=$\frac{1}{2}CD$，
∴∠MPN为AB与CD所成的角（或所成的角的补角），
∴∠MPN=60°或∠MPN=120°，
若∠MPN=60°，∵PM∥AB，∴∠PMN是AB与MN所成的角（或所成角的补角），
又∵AB=CD，∴PM=PN《
∴△PMN是等边三角形，∴∠PMN=60°，
∴AB与MN所成的角为60°；
若∠MPN=120°，则△PMN是等腰三角形，∴∠PMN=30°，
∴AB与MN所成的角为30°，
∴直线AB与MN所成的角为60°或30°．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．