Question

已知一动圆P（圆心为P）经过定点Q（，0），并且与定圆C：（圆心为C）相切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若斜率为k的直线l经过圆x²+y²-2x-2y=0的圆心M，交动圆圆心P的轨迹于A、B两点．是否存在常数k，使得？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，y），动圆半径为r，则|PQ|=r．因为点Q在圆C的内部，所以动圆P与定圆C内切，所以|PC|=4-r．
所以|PC|+|PQ|=4＞|CQ|=，由此能够求出动圆圆心P的轨迹方程．
（2）假设存在常数k，使得，即，所以M为AB的中点．圆方程可化为（x-1）²+（y-1）²=2，所以圆心M为（1，1）．直线l的方程为y-1=k（x-1）．由，得（1+2k²）x²+（4k-4k²）x+（2k²-4k-2）=0．因为点M（1，1）在椭圆的内部，所以恒有△＞0．由此能够推导出存在常数k=-，使得．
解答：（1）解：设P（x，y），动圆半径为r，则|PQ|=r．
因为点Q在圆C的内部，所以动圆P与定圆C内切，
所以|PC|=4-r．
所以|PC|+|PQ|=4＞|CQ|=，
根据椭圆的定义，动圆圆心P的轨迹是以C、Q为焦点的椭圆．
因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，
故可设椭圆方程为．
由2a=4，2c=2，得a=2，c=，b=，
所以椭圆方程为．
所以动圆圆心P的轨迹方程为．
（2）解：假设存在常数k，使得，
即，所以M为AB的中点．
圆方程可化为（x-1）²+（y-1）²=2，
所以圆心M为（1，1）．
因为直线l经过点M，
所以直线l的方程为y-1=k（x-1）．
由，
消去y得（1+2k²）x²+（4k-4k²）x+（2k²-4k-2）=0．
因为点M（1，1）在椭圆的内部，
所以恒有△＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则．
因为M为AB的中点，
所以，
即，
解得k=-．
所以存在常数k=-，
使得．
点评：本题通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．综合性强，难度大，容易出错．