Question

【选修4-5：不等式选讲】
（1）已知x、y都是正实数，求证：x³+y³≥x²y+xy²；
（2）设不等的两个正数a、b满足a³-b³=a²-b²，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）作差（x³+y³）-（x²y+xy²）后化积，利用综合法对乘积的符号进行判断，即可证得结论成立；
（2）从已知a³-b³=a²-b²出发，利用a＞0，b＞0，a≠b，结合基本不等式可求得3（a+b）²-4（a+b）＜0，从而可求a+b的取值范围．

解答：（1）证明：∵（x³+y³）-（x²y+xy²）
=x²（x-y）+y²（y-x）
=（x-y）（x²-y²）
=（x-y）²（x+y）
又x、y都是正实数，
∴（x-y）²≥0、x+y＞0，即（x³+y³）-（x²y+xy²）≥0
∴x³+y³≥x²y+xy²；
（2）∵a³-b³=a²-b²，
∴（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）（a+b），
又a≠b，故a-b≠0，
∴a²+ab+b²=a+b，
即（a+b）²-ab=a+b，又a＞0，b＞0，a≠b，
∴ab=（a+b）²-（a+b）＜(

a+b

2

)2，
∴3（a+b）²-4（a+b）＜0，
∴0＜a+b＜

4

3

．

点评：本题考查综合法证明不等式，考查等价转化思想与基本不等式的应用，考查推理与证明能力，属于难题．