Question

【题目】

如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．

（I）证明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值．

Answer 1

【答案】解析：（I）见解析；（2）1.

【解析】

试题(1)要证直线与平面垂直，只须证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，注意到QA⊥平面ABCD，所以有平面PDAQ⊥平面ABCD，且交线为AD，又因为四边形ABCD为正方形，由面面垂直的性质可得DC⊥平面PDAQ，从而有PQ⊥DC，又因为PD∥QA，且QA＝AB＝PD ，所以四边形PDAQ为直角梯形，利用勾股定理的逆定理可证PQ⊥QD；从而可证 PQ⊥平面DCQ；(2)设AB＝a，则由(1)及已知条件可用含a的式子表示出棱锥Q－ABCD的体积和棱锥P－DCQ的体积从而就可求出其比值．

试题解析：(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形．

因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.

又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，

所以DC⊥平面PDAQ.可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，

则PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.

(2)设AB＝a.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝a3.

由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，

所以棱锥P－DCQ的体积V2＝a3.

故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.