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【题目】(本题满分10分)

已知椭圆 的左焦点为,右焦点为,离心率.的直线交椭圆于两点,且的周长为.

1)求椭圆的方程;

2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点.求证:以为直径的圆恒过一定点.并求出点的坐标.

【答案】112)存在定点M(10)

【解析】试题分析:()根据过的直线交椭圆于两点,且的周长为8,可得,即,利用,即可求得椭圆E的方程.()由消元可得,利用动直线与椭圆E有且只有一个公共点,可得,进而可得,由,取

,猜想满足条件的点存在,只能是,再进行证明即可

试题解析:(1,.

,所以.

又因为,即,所以,所以.

故椭圆的方程为.

2)法一:由消去.

因为动直线与椭圆有且只有一个公共点,所以,且,即

,化简得.

此时,所以

从而以线段为直径的圆的方程满足,化简得

.

由对称性知,点必在轴上.而当时, ,易得,此式恒成立.

故命题成立.定点坐标为.

法二:由消去.

因为动直线与椭圆有且只有一个公共点,所以,且,即

,化简得.

此时,所以

.

因为存在定点满足条件,由图形对称性知:点必在轴上.

此时为直径的圆的方程为轴于,;,此时,以为直径的圆的方程为,交轴于点.所以满足条件的点存在,其必为.

下面证明点满足条件.

因为所以,故

恒有,故点恒在以线段为直径的圆上.

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