Question

【题目】如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°。
（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；
（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，所以BC=2x．

在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，

由余弦定理，得AC2=BA2+BC2﹣2BABCcos∠ABC，…

即 （（y﹣1）2=y2+（2x）2﹣2y2xcos60°，

所以 ．…

由AB﹣AC＜BC，得 ．又因为 ＞0，所以x＞1．

所以函数 的定义域是（1，+∞）．

（2）解：M=30（2y﹣1）+40x．

因为 ．（x＞1），所以M=30

即 M=10 ．

令t=x﹣1，则t＞0．于是M（t）=10（16t+ ），t＞0，

由基本不等式得M（t）≥10（2 ）=490，

当且仅当t= ，即x= 时取等号．

答：当x= km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．

【解析】（1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，由余弦定理，求解函数的解析式，然后求解定义域．（2）求出M=30（2y﹣1）+40x，通过基本不等式求解表达式的最值即可．
【考点精析】关于本题考查的函数的最值及其几何意义，需要了解利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能得出正确答案．