Question

已知椭圆过点，且离心率为，A、B是椭圆上纵坐标不为零的两点，若，且，其中F为椭圆的左焦点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求A、B两点的对称直线在y轴上的截距的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，所以=，因为椭圆过（1，），所以把（1，）代入椭圆方程成立，再根据a，b，c的关系式，就可解出a，b的值，求出椭圆的方程．
（Ⅱ）先设出AB方程，与椭圆方程联立，求A，B点横坐标之和，纵坐标之和，再用A，B点坐标表示AB中点坐标，根据线段AB的垂直平分线过AB中点，且垂直AB，斜率是AB斜率的负倒数，即可写出线段AB的垂直平分线方程，再令x=0，得到纵截距，用均值不等式求范围即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知得，，解得a²=4，b²=3
∴椭圆的方程为
（Ⅱ）A，B是椭圆上纵坐标不为零的两点，
∴A，F，B三点共线，且直线AB的斜率存在且不为0
又F（-1，0），可记AB方程为y=k（x+1），代入椭圆的方程，化简，得
（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，显然△＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x，y），
则x==，y=k（x+1）=
直线AB的垂直平分线方程为y-y=-（x-x）
令x=0，得，y=-=-
∵|4k+|≥4，当且仅当|k|=时取“=“
∴4k+≥4或4k+≤-4
∴线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围为[-，0]∪（0，]．
点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及椭圆与不等式相结合求范围，做题时要细心．