【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,短轴长为,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过右焦点与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点.在线段上是否存在点,使得以、为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出的取值范围;若不存在,
请说明理由;
(3)设点在椭圆上运动,,且点到直线的距离等于,试求动点的轨
迹方程.
【答案】(1) .
(2).
(3) .
【解析】
分析:(1)椭圆方程可设为,利用两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点,且短轴长为2,即可求得椭圆方程;
(2)假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形.因为直线与轴不垂直,所以可设直线的方程为,,与椭圆方程联立,再利用韦达定理.根据以为邻边的平行四边形是菱形等价于得 ,即 ,,由此可确定的取值范围.
(3)设,由得 ①
又点在椭圆上,得 ②
联立①、②得 ,根据点到直线的距离等于,由此能求出D点轨迹方程.
详解:
(1,由题意得,
所以,
因此所求椭圆方程为.
(2)假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形.
因为直线与轴不垂直,所以可设直线的方程为,坐标分别为
.
由 得 .
由一元二次方程根与系数的关系得 .
由于,其中,
由得 ,即 ,
因此.
(3)设,由得 ①
又点在椭圆上,得 ②
联立①、②得 ③
由,得,
两边平方得 ,则得.
即 .
将③代入上式得 ,
化简,得点的轨迹方程是 .
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【题目】a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最小值为60°;
其中正确的是(填写所有正确结论的编号)
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【题目】如图,在多面体中,平面平面,四边形为正方形,四边形为梯形,且,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】设函数.
(1)请指出函数的定义域、周期性和奇偶性;(不必证明)
(2)请以正弦函数的性质为依据,并运用函数的单调性定义证明:在区间上单调递减.
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【题目】现在,很多人都喜欢骑“共享单车”,但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度,某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民,得到了一个市民是否认可的样本,具体数据如下列联表:
附:,.
根据表中的数据,下列说法中,正确的是( )
A. 没有95% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B. 有99% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D. 可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
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【题目】某研究机构为了调研当代中国高中生的平均年龄,从各地多所高中随机抽取了40名学生进行年龄统计,得到结果如下表所示:
年龄(岁) | |||||
数量 | 6 | 10 | 12 | 8 | 4 |
(Ⅰ)若同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批学生的平均年龄;
(Ⅱ)若在本次抽出的学生中随机挑选2人,记年龄在间的学生人数为,求的分布列及数学期望.
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【题目】城市公交车的数量太多造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15名,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如下表所示:
组别 | 候车时间 | 人数 |
一 | [0,5) | 2 |
二 | [5,10) | 6 |
三 | [10,15) | 4 |
四 | [15,20) | 2 |
五 | [20,25] | 1 |
(1)求这15名乘客的平均候车时间
(2)估计这60名乘客候车时间少于10分钟的人数.
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