Question

【题目】已知椭圆C：上顶点为A，右顶点为B，离心率，O为坐标原点，原点到直线AB的距离为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线与椭圆C相交于E、F两不同点，若椭圆C上一点P满足．求△EPF面积的最大值及此时的．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，的面积的最大值为.

【解析】

（1）设出直线的方程为：：，原点到直线的距离为，列出关系式， 通过，利用离心率，求出，，得到椭圆的标准方程．

（2）联立直线与椭圆方程， 设，，，，利用韦达定理， 以及弦长公式， 点到直线的距离，，利用二次函数的最值， 求解的面积的最大值，以及的值

（1）由题意，，则，①

∵A（0，b），B（a，0），则直线AB的方程为：，即为，

∵原点到直线AB的距离为，

∴，

∴，②

∵，③

由①②③得：，

所以椭圆C的标准方程为：；

（2）由可得：，

设，，

则，，

∴

又点O到直线EF的距离，

∵，

∴

又因为，又，∴，

令，则，

所以当时，最大值为：

所以当时，△EPF的面积的最大值为．