Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M、N分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求证：当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四个点在同一个平面内；
（Ⅲ）当PA=AB=2，二面角C-AN-D的大小为$\frac{π}{3}$时，求PN的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB⊥BC，PA⊥BC，由此能证明BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）推导出BC⊥PB，MN∥BC，MN∥AD，由此能证明M，N，D，A四个点在同一个平面内．
（Ⅲ）以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出PN的长．

解答 证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC，…（1分）
因为PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC．…（2分）
因为AB∩PA=A，且AB，PA?平面PAB，
所以BC⊥平面PAB…（4分）
（Ⅱ）因为BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以BC⊥PB…（5分）
在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，
所以MN∥BC．…（6分）
在正方形ABCD中，AD∥BC，所以MN∥AD，…（7分）
所以 AM，AD可以确定一个平面，记为α
所以M，N，D，A四个点在同一个平面α内          …（8分）
解：（Ⅲ）因为PA⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD．又AB⊥AD，
如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，…（9分）
所以C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2）．
设平面DAN的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
平面CAN的一个法向量为$\overrightarrow m=（a，b，c）$，
设$\overrightarrow{PN}=λ\overrightarrow{PC}$，λ∈[0，1]，
因为$\overrightarrow{PC}=（2，2，-2）$，所以$\overrightarrow{AN}=（2λ，2λ，2-2λ）$，
又$\overrightarrow{AD}=（0，2，0）$，所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AN}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{AD}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2λx+2λy+（2-2λ）z=0\\ 2y=0\end{array}\right.$，
取z=1，得到$\overrightarrow n=（\frac{λ-1}{λ}，0，1）$，…（9分）
因为$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，$\overrightarrow{AC}=（2，2，0）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AP}•\overrightarrow m=0\\ \overrightarrow{AC}•\overrightarrow m=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2c=0\\ 2a+2b=0\end{array}\right.$，
取a=1得，到$\overrightarrow m=（1，-1，0）$，…（10分）
因为二面C-AN-D大小为$\frac{π}{3}$，所以$|cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞|=cos\frac{π}{3}=\frac{1}{2}$，
所以$|cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞|=|{\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|\overrightarrow m||\overrightarrow{n|}}}}|=|{\frac{{\frac{λ-1}{λ}}}{{\sqrt{2}\sqrt{{{（\frac{λ-1}{λ}）}^2}+1}}}}|=\frac{1}{2}$
解得$λ=\frac{1}{2}$，所以$PN=\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四点共面的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．