Question

11．设f（x）=$\frac{{x-\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}x+1}}$，且满足f_n（x）=f（f_n-1（x）），n∈N^*，若f₀（x）=f（x），则f₂₀₁₅（0）=（　　）

• A． 0
• B． $\sqrt{3}$
• C． $-\sqrt{3}$
• D． 2015

Answer 1

分析 由题意，可先求出f₁（x），f₂（x），f₃（x）…，归纳出f_n+3（x）=f_n（x），即可得出f₂₀₁₅（x）的表达式，进而得到f₂₀₁₅（0）=0．

解答 解：f₀（x）=f（x）=$\frac{{x-\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}x+1}}$，
f₁（x）=f（f（x））=$\frac{\frac{x-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}x}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}•\frac{x-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}x}}$=$\frac{x+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}x}$，
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{\frac{x+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}x}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}•\frac{x+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}x}}$=x，
f₃（x）=f（f₂（x））=f（x）=f₀（x），
f₄（x））=f（f₃（x））=f₁（x），
…，
则f_n+3（x）=f_n（x），
故f₂₀₁₅（x）=f_3×671+2（x）=f₂（x）=x，
则f₂₀₁₅（0）=0．
故选A．

点评 本题考查函数的性质，考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是解题的关键．