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已知实数x,y,z满足xyz=32,x+y+z=4,则|x|+|y|+|z|的最小值为
12
12
分析:为了去掉绝对值,先讨论三个实数的符号一定为一正二负,从而将|x|+|y|+|z|转化为关于x的函数,再利用判别式法求x的范围,即可得所求
解答:解:不妨设x≥y≥z由于xyz=32>0所以x,y,z要么满足全为正,要么一正二负
若是全为正数,由均值不等式得:4=x+y+z≥3
3xyz
,所以xyz≤
64
27
<32,矛盾.
所以必须一正二负.即x>0>y≥z
从而|x|+|y|+|z|=x-y-z=2x-(x+y+z)=2x-4,所以只要x最小
将z=4-x-y代入xyz=32得:xy2+(x2-4x)y-32=0
由△≥0,得:(x2-4x)2≥128x
即x(x-8)(x2+16)≥0因为x>0,x2+16>0,所以一定有x-8≥0,x≥8
所以|x|+|y|+|z|的最小值为2×8-4=12
故答案为12
点评:本题考查了推理论证能力,均值定理的运用,含绝对值函数问题的解决方法,判别式法求变量的取值范围
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在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分,请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:(几何证明选讲)
如图,从O外一点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,
AB与OP交于点M,设CD为过点M且不过圆心O的一条弦,
求证:O,C,P,D四点共圆.
B.选修4-2:(矩阵与变换)
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=[
 
1
1
],并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵M.
C.选修4-4:(坐标系与参数方程)
在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为p=2
2
sin(θ-
π
4
),以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
(t为参数),求直线l被曲线C所截得的弦长.
D.选修4-5(不等式选讲)
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1
2
,则z的取值范围是(  )

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