Question

5．已知复数z₁=4-m²+（m-2）i，z₂=λ+2sinθ+（cosθ-2）i，（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）．
（1）若z₁为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z₁=z₂，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由z₁为纯虚数，列出方程组，求解即可得实数m的值；
（2）由z₁=z₂，列出方程组，再结合正弦函数图象的性质，即可求得实数λ的取值范围．

解答 解：（1）∵z₁为纯虚数，则$\left\{\begin{array}{l}{4-{m}^{2}=0}\\{m-2≠0}\end{array}\right.$，
解得：m=-2；
（2）由z₁=z₂，得$\left\{\begin{array}{l}{4-{m}^{2}=λ+2sinθ}\\{m-2=cosθ-2}\end{array}\right.$，
∴λ=4-cos²θ-2sinθ=sin²θ-2sinθ+3=（sinθ-1）²+2．
∵-1≤sinθ≤1，
∴当sinθ=1时，λ_min=2；
当sinθ=-1时，λ_max=6．
∴实数λ的取值范围是[2，6]．

点评 本题考查了复数的基本概念，考查了正弦函数图象的性质，是基础题．