Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），且经过点P(1，

3

2

)，M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF₂为半径作圆M．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设知及椭圆定义得|PF₁|+|PF₂|=2a，求出a=2．又c=1．由此能求出椭圆方程．
（2）先设M（x₀，y₀），得到圆M的半径r=

(x0-1)2+ y 2 0

，再利用圆心M到y轴距离d=|x₀|，结合圆M与y轴有两个交点时，则有r＞d，即可构造关于x₀不等式，从而解得点M横坐标的取值范围．

解答：解：（1）由椭圆定义得|PF₁|+|PF₂|=2a，…（1分）
即2a=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4，…（3分）
∴a=2．又c=1，∴b²=a²-c²=3．…（5分）
故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（2）设M（x₀，y₀），则圆M的半径r=

(x0-1)2+ y 2 0

，…（7分）
圆心M到y轴距离d=|x₀|，…（8分）
若圆M与y轴有两个交点则有r＞d即

(x0-1)2+ y 2 0

＞|x0|，…（9分）
化简得

y

2 0

-2x0+1＞0．…（10分）
∵M为椭圆上的点
∴

y

2 0

=3-

3

4

x

2 0

，…（11分）
代入以上不等式得3

x

2 0

+8x0-16＜0，
解得-4＜x0＜

4

3

．…（12分）
∵-2≤x₀≤2，…（13分）
∴-2≤x0＜

4

3

．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程和直线与圆锥曲线的关系，综合性强，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．