Question

已知函数f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+…f（2010）=

 

．

Answer 1

分析：先将原函数用降幂公式转化为：f（x）=

A

2

cos（2ωx+2?）+

A

2

+1，由相邻两对称轴间的距离为2可知周期求得ω，由最大值为3，求得A，又由图象经过点（0，2），求得?，进而得f（x）再研究问题．

解答：解：将原函数f（x）=Acos²（ωx+?）+1转化为：f（x）=

A

2

cos（2ωx+2?）+

A

2

+1
相邻两对称轴间的距离为2可知周期为：4，则2ω=

2π

4

=

π

2

，ω=

π

4

由最大值为3，可知A=2
又∵图象经过点（0，2），
∴cos2?=0
∴2∅=kπ+

π

2

∴f（x）=cos（

π

2

x+kπ+

π

2

）+2=2±sin（

π

2

x）
∵f（1）=2+1，f（2）=0+2，f（3）=-1+2，f（4）=0+2…
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=502×8+5=4021
或f（1）=2-1，f（2）=0+2，f（3）=1+2，f（4）=0+2…
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=502×8+3=4019
故答案为：4021或4019

点评：本题是中档题，考查三角函数的表达式的求法，函数的值的求法，考查计算能力．